Einfach erklärt
Ein Vektorraum ist eine Sammlung von Vektoren (z. B. Pfeile, Zahlenlisten), in der man
• addieren kann (zwei Vektoren ergeben einen neuen), und
• mit Zahlen multiplizieren kann (einen Vektor strecken/verkürzen/umkehren),
so dass dabei immer wieder gültige Vektoren desselben Raums herauskommen und die üblichen Rechenregeln gelten (z. B. Reihenfolge beim Addieren egal, es gibt einen Null‑Vektor, zu jedem Vektor ein Gegenvektor).
Ganz einfache Beispiele:
• Pfeile in der Ebene (ℝ²): Zwei Pfeile hinzufügen → neuer Pfeil; mit 2 multiplizieren → doppelt so lang.
• Listen von Zahlen: Alle Paare ((x,y)) oder Dreier ((x,y,z)) bilden Vektorräume mit gewöhnlicher Addition und Skalarmultiplikation.
• Funktionen: Auch Funktionen kann man addieren und mit Zahlen multiplizieren – sie bilden oft ebenfalls einen Vektorraum.
Professionelle Definition
Ein Vektorraum (V) über einem Körper (K) ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen – Addition (+!: V\times V\to V) und Skalarmultiplikation (\cdot!: K\times V\to V) – die folgende Axiome erfüllen (für alle (u,v,w\in V), (a,b\in K)):
• Assoziativität/Kommutativität der Addition, Null‑Vektor (0\in V), additives Inverses ((-v)).
• Distributivität: (a(u+v)=au+av) und ((a+b)v=av+bv).
• Verträglichkeit: (a(bv)=(ab)v), Einselement: (1\cdot v=v).
Erzeugendensystem/Basis/Dimension: Eine Basis ist eine linear unabhängige Menge, die den ganzen Raum aufspannt. Die Anzahl der Basisvektoren ist die Dimension (\dim V). Jedes (v\in V) lässt sich eindeutig als Linearkombination der Basis schreiben. In der Praxis nutzt man Koordinaten bezüglich einer Basis, um Vektoren als Zahlenlisten zu behandeln.
Unterräume & lineare Abbildungen: Eine Teilmenge ist Unterraum, wenn sie unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Lineare Abbildungen (T:V\to W) erhalten Addition/Skalarmultiplikation und werden durch Matrizen in Basen dargestellt.
Quellen
- Wikipedia – Vektorraum (Definition, Axiome, Beispiele)
https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum - Wikipedia (en) – Vector space (ergänzende Darstellung, Basis/Dimension, Beispiele)
https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space - Encyclopedia of Mathematics – Vector space (formale Definition/Begriffe)
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Vector_space - MathWorld – Vector Space (Kurzüberblick, Axiome, Beispiele)
https://mathworld.wolfram.com/VectorSpace.html - MIT OpenCourseWare – Linear Algebra (Strang) – Lecture Notes (Basis, Dimension, lineare Abbildungen)
https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/resources/